来源 | 哈罗德·克里斯托弗·伯格
编辑| 夏天
随着加密货币的日益普及，其未来价格已成为越来越多投机者关注的焦点。 经济学家对比特币的价格有多种预测：
Nouriel Roubini等经济学家预测，比特币的价格将在五年内降至零； 而约翰·迈克菲 (John McAfee) 则著名地预测，到 2020 年底，比特币的价格将达到 100 万美元。其他人的预测也在这两个区间内 [1]。
总体而言，比特币的价格自 2009 年诞生以来，经历了多次繁荣和萧条，迅速上涨。 比特币的快速崛起及其繁荣时期似乎促使迈克菲和其他人对未来价格做出非常乐观的预测，而萧条似乎促使其他经济学家预测比特币的价格将跌至零。
在本文中，我们将以对数尺度观察比特币的历史价格，其中价格演变可以理解为在两个基于时间的幂律定义的区间内移动（见下图）。 虽然使用幂律来模拟比特币价格的想法并不新鲜，但在本文中我们对这个想法给予了更多支持并提供了一些额外的解释。
[注：对数刻度是当数量变化范围很大时使用的非线性测量刻度。 对数刻度是以数量级为单位的，而不是一般的线性刻度（线性刻度），因此每个刻度之间的商是一个固定值。 ]
该模型使我们能够对比特币的长期未来价格做出广泛的预测，例如：
另外，从上图我们可以看出，比特币的价格区间可以分为两个波段：一个波段位于价格预测（绿色）下方，相对较窄；另一个波段位于价格预测（绿色）下方，相对较窄；另一个波段位于价格预测（绿色）下方，相对较窄。 另一个带较宽（红色），位于价格预测上方。 比特币的价格在两个区间大致相同。 这意味着大泡沫和泡沫破裂可能会持续下去。
上述预测可能看起来很宽泛，但它们足够准确，足以经得起其他一些人的预测。 该价格模型还应有助于明确何时进入或退出市场。
我非常有信心，从长远来看，比特币价格确实会大致如本文所述发展。 我认为，面对巨大的外部冲击，比特币的上行潜力大于下行潜力。
看待价格的不同方式
比特币价格最有趣和令人惊奇的方面是，它在短短几年内发生了多个数量级的变化。
我能找到的第一个在交易所公开上市的比特币是 2010 年 7 月 17 日在 Mt Gox 交易所上市的 0.05 美元，在此之前很多比特币都以较低的价格交易，比如 2020 年 5 月 22 日，当时 Laszlo Hanyecz 买了两块披萨对于 10,000 BTC，转换后的比特币价格为 0.0025 美元。
截至撰写本文时，BTC 的价格徘徊在 10,000 美元左右，比 Laszlo Hanyecz 当时对 BTC 的估值高出约 400 万倍。
金融工具经历如此多个数量级的变化是非常不寻常的。 事实上，查看比特币价格随时间变化的曲线可能会有点令人困惑。 下图显示了从 2010 年 7 月 17 日到撰写本文时比特币的价格变化。 在任何列出比特币价格的网站上都可以找到类似的图表。
比特币历史价格变化基于线性比例
与过去的价格相比，最近的比特币价格波动都非常大，以至于过去的价格似乎毫无意义。 然而，要了解长期价格趋势，所有过去的价格都有一定的影响力。
产生上述效应的原因是，对于任何经历如此多个数量级变化的金融工具，使用线性标度是不方便的。 对数刻度比线性刻度更有用！ [2] 对数标度给出的 0.01 到 0.1 之间的间距与 1,000 到 10,000 之间的间距相等。
在对数尺度上，比特币价格演变的大局变得更加明显，见下图：
比特币历史价格变化基于对数尺度
从上图可以明显看出，比特币价格的增长速度似乎正在放缓：短短几个月内，其价格从 0.1 美元上涨至 1 美元（以 10 的倍数计算），而随后的 10 倍涨幅已经达到了 10 倍。速度有所放缓。 减速。
在上图中，价格（y 轴）是对数缩放的，而时间（x 轴）不是对数缩放的。 让我们看看当 x 轴也以对数缩放时会发生什么，即所谓的双对数图 ([3]) 中的情况：
目前，比特币的历史价格看起来非常线性！
线性回归
由于上图中的数据看起来是线性的，因此我们尝试对其进行线性回归（线性回归）[4]。 这个想法本身并不新鲜，我在 reddit[5] 上发现了一个线程，它就是这样做的：
上图中，绿线是线性回归的结果。 线性回归给出了预测特定日期比特币价格的幂律：
其中price代表比特币的价格，a=-17.01593313，斜率b=5.84509376，d代表自2009年比特币诞生以来的天数。
备注：通过在对数空间中进行线性回归，我们获得了预测比特币价格的非线性幂律。
从视觉上看，线性回归方法可以很好地追踪比特币的历史价格。 有趣的是，reddit 上的那篇文章是大约一年前写的，但线性回归结果仍然非常相似。 同时，决定系数（也称为拟合优度，决定系数，[6]）较高，为0.93139763，表明模型拟合良好。
在下图中，我们可以看到决定系数如何随时间变化。 令人惊讶的是，决定系数（拟合优度）随着时间的推移变得越来越线性：
上图中，x 轴代表线性回归模型使用的数据点（天数），y 轴代表决定系数（拟合优度）。 比特币的价格越来越遵循这种幂律。
如果我们将上面的拟合稍微向下移动（但不改变斜率），我们会发现一条似乎运行良好的支撑线（2010 年除外，当时价格没有突破该线），请参见下图：
这似乎很好地支持了比特币的价格：从历史上看，比特币的价格遵循幂律。
我们还可以尝试仅对 2011 年、2013 年和 2017 年的前三个比特币价格峰值进行线性回归。有趣的是，拟合效果非常好：所有三个数据点的线性回归结果都非常接近前一行，请参阅如下图：
对 2011 年、2013 年和 2017 年的前三个比特币价格峰值进行线性回归，我们得出上图中的绿线。
比特币价格的市场峰值似乎也遵循这一幂律。 如果下一个比特币峰值遵循这个幂律，它将基于上面的线。 上图中该幂律的斜率是 5.02927337，而对所有数据的拟合会产生稍大的斜率 5.84509376（如上所述）。
这表明，与整体趋势线相比，比特币牛市相对温和。 这或许是可以预料到的，因为随着市场的成熟和订单规模的扩大，人们应该预计比特币的波动性会较小。
我们现在有两条幂律来决定比特币的价格行为：下面的支撑线和上面由市场峰值定义的线。
现在，让我们看看哪些数据点最适合该模型。 我们将使用随机采样算法 RANSAC，这是一种异常值去除的迭代形式：
首先，对所有数据点进行线性回归； 然后，删除最不适合数据的数据点，并再次执行线性回归[7]。 当 50% 的数据点被删除时，我们将停止线性回归。 下图显示了结果：
上图中突出显示了RANSAC选择的数据点：RANSAC选择的数据点与模型拟合非常接近。 在RANSAC未选择的数据点集中，比特币价格几乎全部高于模型拟合值。 这些数据点大部分出现在牛市中。 比特币的价格似乎遵循两种模式：
比特币价格以两种模式存在的时间相同。
最后，让我们将前面提到的所有模型合并到一张图中：
从上图我们可以发现，所有数据的拟合与RANSAC结果的斜率非常相似，只是偏移量略有不同。 这是因为看涨价格基本上被 RANSAC 排除为异常值。
基于模型的价格预测
我们现在有各种模型来预测比特币的未来价格。 我们所要做的就是展开这个图：
该模型预测价格将在红色支撑线（最底部）和蓝色顶线（最顶部）之间波动。 紫色稳健拟合/RANSAC 线定义了比特币价格“正常模式”的中心； 过去两次比特币减半和未来比特币减半都用黑色垂直线标记。
我们可以进一步将其分为两个频段：一个对应“正常模式”，另一个对应“牛市模式”。 到目前为止，比特币的价格一半时间处于“正常模式”区间的下限，另一半时间处于“牛市模式”上限的区间。 见下文：
该幂律模型预测比特币的价格将继续增长，但速度较慢。 它还预测未来波动性将有所降低，但仍将很大。
它还预测，比特币价格在2021年之前不会达到10万美元，但到2028年不会跌破10万美元。它还预测，2028年之前价格不会达到100万美元，但2037年之后不会跌破100万美元。模型预测价格将继续上涨，尽管速度越来越慢。
由于上图所示的区间很宽，价格增长速度将会放缓，这意味着不幸的投资者将不得不等待越来越长的时间才能收回初始投资。
例如，那些在2011年泡沫顶峰购买比特币的投资者只需要等待大约两年的时间，比特币的价格就在2013年永久回升； 然而，在 2013 年泡沫高峰期间购买比特币的投资者，价格大约花了 4 年时间才从 2017 年的水平恢复并保持在该水平之上。
该模型预测，2017 年泡沫顶峰时的价格水平可能要到 2023 年底（大约六年后）才能达到。
到目前为止，每四年减半期都会出现一次泡沫，比特币的价格将会被下一个周期的泡沫超越。 但由于前面提到的增长放缓和宽带，这种情况未来不一定会继续出现。 例如，该模型预测以下场景：
这样的情况将为比特币批评者提供支持，但只要人们做好准备，就不应该特别担心。
为什么比特币遵循幂律？ 我们应该期待它继续下去吗？ 比特币遵守幂律的观察显然是针对比特币的。 此外，除了时间之外，还有其他因素会影响比特币的价格，例如其稀缺性。
然而，比特币的稀缺性是程序化的，因此是基于时间的。 所以这个简单的基于时间的模型在未来继续成立也不是不可能的。
